Inanglement et corrélations

Entanglement est un concept fondamental dans la mécanique quantique qui décrit une corrélation quantique entre les systèmes quantiques. Lorsque deux qubits ou plus sont enchevêtrés, l’état d’un qubit dépend de l’état de l’autre qubit, même s’ils sont éloignés. Cette corrélation quantique est une caractéristique unique des systèmes quantiques qui n’ont pas d’équivalent classique.

Cet article fournit une vue d’ensemble de l’inanglement, des corrélations et explique comment créer un entanglement à l’aide de portes quantiques.

Qu’est-ce que l’intrication ?

Imaginez que vous avez deux qubits, $A$ et $B$. Les qubits sont indépendants les uns des autres, ce qui signifie que les informations sur l’état du qubit $A$, quel qu’il soit, appartiennent uniquement au qubit $A$. De même, les informations sur l’état de qubit B appartiennent à qubit $$B$.$ Dans ce cas, les qubits ne sont pas enchevêtrés, car ils ne partagent pas d’informations sur leurs états.

Imaginez maintenant que vous entassez les qubits. Si les qubits A et B sont enchevêtrés, les informations sur l’état du qubit $A$ ne sont pas indépendantes $de l’état du qubit $B$.$ $$ Lorsqu’elles sont enchevêtrées, les informations sont partagées entre les deux qubits et il n’existe aucun moyen de connaître l’état du qubit $A$ ou du qubit $B$. Vous pouvez uniquement décrire l’état du système global, et non celui de chaque qubit.

L’intrication est une corrélation quantique entre deux particules ou plus. Si deux particules sont enchevêtrées, elles ne peuvent pas être décrites indépendamment, mais seulement en tant que système entier.

Deux particules ou plus peuvent être enchevêtrées même si elles sont séparées par de grandes distances. Cette corrélation est plus forte que n’importe quelle corrélation classique, et il s’agit d’une ressource clé pour les tâches de traitement des informations quantiques telles que la téléportation quantique, le chiffrement quantique et l’informatique quantique. Si vous souhaitez apprendre à téléporter un qubit à l’aide d’un entanglement, consultez ce module dans le chemin d’apprentissage Azure Quantum.

Définition de l’enchevêtrement dans les systèmes quantiques

Imaginez deux qubits, soit $A$ et $B$, de sorte que l’état du système global $\ket{\phi}$ soit :

$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$

Le système global $\ket{\phi}$ est dans une superposition des états $|00\rangle$ et $|11\rangle$. Quel est toutefois l’état individuel du qubit $A$ ? Et celui du qubit $B$ ? Si vous essayez de décrire l’état du qubit A$ sans tenir compte de l’état du qubit $$B$, vous échouez. Les sous-systèmes A$ et $B$ sont enchevêtrés et ne peuvent pas être décrits $indépendamment.

Si vous mesurez les deux qubits, seuls deux résultats sont possibles : $\ket{{00}$ et $\ket{{11}$, chacun avec la même probabilité de $\frac{1}{{2}$. La probabilité d’obtenir les états $|01\rangle$ et $|10\rangle$ est égale à zéro.

Mais que se passe-t-il si vous ne mesurez qu’un seul qubit ? Lorsque deux particules sont enchevêtrées, les résultats de mesure sont également corrélés. Autrement dit, quelle que soit l’opération qui arrive à l’état d’un qubit dans une paire enchevêtrée, affecte également l’état de l’autre qubit.

Si vous mesurez uniquement le qubit $A$ et que vous obtenez l’état $|0\rangle$, cela signifie que le système global se réduit à l’état $\ket{00}$. Il s’agit du seul résultat possible, car la probabilité de mesurer $|01\rangle$ est nulle. Par conséquent, sans mesurer le qubit B$, vous pouvez être sûr que le deuxième qubit $est également dans $|0\rangle$ état. Les résultats de la mesure sont corrélés, car les qubits sont intriqués.

L’état $\ket{\phi}$ quantique est appelé état Bell. Il y a quatre états Bell :

$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$

Création d’un enchevêtrement avec des opérations quantiques

Vous pouvez utiliser des opérations quantiques pour créer un enchevêtrement quantique. L’une des façons les plus courantes de créer l’entanglement à deux qubits dans l’état $|00\rangle$ consiste à appliquer l’opération $Hadamard H$ et l’opération $CNOT$ contrôlée-NOT pour les transformer en état $\ket{\phiBell ^+}=\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$.

L’opération $CNOT$ prend deux qubits comme entrée, l’un agit comme qubit de contrôle et l’autre est le qubit cible. L’opération CNOT retourne l’état du qubit cible si, et seulement si, l’état du qubit de contrôle est $|1\rangle$.

Voici son fonctionnement :

1. Prenez deux qubits dans l’état $|00\rangle$. Le premier qubit est le qubit de contrôle et le deuxième qubit est le qubit cible.

2. Préparez un état de superposition dans le qubit de contrôle en appliquant $H$.

   $$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$

   Remarque

   Les indices ${}_c$ et ${}_t$ spécifier le contrôle et les qubits cibles.

3. Appliquez l’opérateur $CNOT$ au qubit de contrôle, qui se trouve dans un état de superposition et le qubit cible, qui se trouve dans l’état $|0_t\rangle$.

   $$ CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t = CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$

Séparabilité et enchevêtrement quantique

L’inanglement peut être considéré comme l’absence de séparabilité : un état est enchevêtré lorsqu’il n’est pas séparable.

Un état quantique est séparable s’il peut être écrit en tant qu’état produit des sous-systèmes. Autrement dit, un état $\ket{\phi}{\text{AB}}$ est séparable s’il peut être écrit en tant que combinaison d’états produits des sous-systèmes, c’est-à-dire{\text{$\ket{\phi} AB=}}\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$

Entanglement dans des états purs

Un état quantique pur est un vecteur de ket unique, tel que l’état $\ket{+\frac{{1}{\sqrt{}={2}}(\ket{0} + \ket{1}).$

Les états purs ne peuvent pas être écrits en tant que mélange statistique (ou combinaison convex) d’autres états quantiques.

Sur la sphère Bloch, les états purs sont représentés par un point sur la surface de la sphère, tandis que les états mixtes sont représentés par un point intérieur.

Un état$\ket{\phi}{pur AB}$ est enchevêtré s’il ne peut pas être écrit en tant que combinaison d’états produits des sous-systèmes, c’est-à-dire{\ket{$\ket{\phi}\otimes AB\ket{}=a}_A b}_B.$

Par exemple, considérez l’état \ket{\psi}$$_{AB={1}{2}}\frac{ ({00}\ket{ + +{10}\ket{01} \ket{+)\ket{{11}$$

Au début, l’état $\ket{\psi}_{AB}$ ne ressemble pas à un état de produit, mais si nous réécrirons l’état comme

$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+_B}$$

l’état $\ket{\psi}_{\text{AB}}$ est un état de produit, par conséquent, il n’est pas enchevêtré.

Inanglement dans des états mixtes

Les états quantiques mixtes sont un ensemble statistique d’états purs. Pour décrire les états mixtes, il est plus facile d’utiliser leur matrice $de densité \rho$ plutôt que la notation de ket.

Un état $mixte \rho$ est séparable s’il peut être écrit en tant que combinaison convex d’états produits des sous-systèmes, par exemple

$$\rho _j p_j \rho =\sum^{A}_j \otimes \rho^{B}_j$$

où $p_j \geq 0, \sum p_j = 1$ et $\rho^{A}_j \geq 0, \rho^{B}_j \geq 0$.

Pour plus d’informations, consultez Matrices de densité.

Un état $mixte \rho$ est enchevêtré s’il n’est pas séparable, autrement dit, il ne peut pas être écrit en tant que combinaison convex d’états de produit.

Présentation des corrélations classiques

Les corrélations classiques sont dues au manque de connaissances de l’état du système. Autrement dit, il existe une certaine aléatoire associée à la corrélation classique, mais elle peut être éliminée en obtenant des connaissances.

Par exemple, considérez deux boîtes, chacune contenant une boule. Vous savez que les deux boules sont de la même couleur, bleu ou rouge. Si vous ouvrez une boîte et découvrez que la balle à l’intérieur est bleue, alors nous savons que l’autre boule est bleue aussi. Par conséquent, ils sont corrélés. Cependant, l’incertitude que nous avons lors de l’ouverture de la boîte est due à notre manque de connaissances, ce n’est pas fondamental. La boule était bleue avant d’ouvrir la boîte. Par conséquent, il s’agit d’une corrélation classique, et non d’une corrélation quantique.

L’état quantique mixte du système formé par les deux zones $\rho_{boxes}$ peut être écrit en tant que

$$\rho_{boxes}\frac{{1}{2}= (\ket{rouge}\bra{rouge}_{A\otimes\ket{}rouge}\bra{}_B) +\frac{{1}{2} (\ket{bleu}\bra{bleu}_A\ket{\otimes bleu_B)}\bra{}$$

Notez que l’état $\rho_{boxes}$ est séparable, où $p_1 p_2 = =\frac{1}{2}$ alors il contient uniquement des corrélations classiques. Un autre exemple d’état séparable mixte est

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{0}\bra{{0}_A\ket{0}\bra{0}\otimes _B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A _B)\otimes\ket{{1}\bra{{1}$$

À présent, tenez compte de l’état suivant :

$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + + \ket{11}\bra{00}{11}\bra{\ket{{11}{00}\bra{11} \ket{+ ) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

Dans ce cas, notre connaissance de l’état est parfaite, nous savons avec une certitude maximale que le système $AB$ est dans l’état $\ket{\phiBell ^+}$ et $\rho$ est un état pur. Par conséquent, il n’existe pas de corrélations classiques. Mais si nous mesurons une observable sur le sous-système $A$, nous obtenons un résultat aléatoire qui nous donne des informations sur l’état du sous-système $B$. Ce caractère aléatoire est fondamental, c’est-à-dire les corrélations quantiques.

Un exemple d’état quantique qui contient à la fois des corrélations classiques et quantiques est

$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$

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