Notation et opérateurs Dirac
Dans l’unité précédente, vous avez appris à déclarer la superposition dans une sphère Bloch. Toutefois, l’informatique quantique nécessite une compréhension de l’algèbre linéaire et de la mécanique quantique. Comment écrire la superposition et les états quantiques de manière à ce qu'ils soient faciles à comprendre et à utiliser ?
Dans cette unité, vous allez découvrir une notation pratique pour écrire des états quantiques : la notation Dirac bra-ket.
Qu’est-ce que la notation bra-ket de Dirac ?
La notation Dirac bra-ket, ou simplement notation Dirac, est une notation abrégée qui facilite l’écriture d’états quantiques et l’algèbre linéaire pour l’informatique. Dans cette notation, les états possibles du système quantique sont décrits en utilisant des symboles appelés kets, qui se présentent sous la forme $| \rangle$.
Par exemple, $|0\rangle$ et $|1\rangle$ représentent respectivement les états 0 et 1 d’un qubit.
Un qubit dans l’état $|\psi\rangle = |0\rangle$ signifie que la probabilité d’observer 0 lorsque vous mesurez le qubit est de 100 %. De même, si vous mesurez un qubit à l’état $|\psi\rangle =|1\rangle$, vous obtenez toujours 1.
Par exemple, un qubit en superposition peut être écrit en tant que $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. Cet état est une superposition des états $|0\rangle$ et $|1\rangle$. La probabilité de mesurer 0 est $\frac12$ et la probabilité de mesurer 1 est également $\frac12$.
Que sont les opérateurs quantiques ?
L’informatique quantique consiste à manipuler des états quantiques pour faire des calculs. Un opérateur quantique est une fonction qui agit sur un état d’un système quantique et le transforme en un autre état. Par exemple, vous pouvez transformer un état $|0\rangle$ en un $|1\rangle$, en appliquant l’opérateur X.
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
L’opérateur X est également appelé porte Pauli-X. Il s’agit d’une opération quantique fondamentale qui inverse l’état d’un qubit. Il y a trois portes Pauli : X, Yet Z. Chaque porte ou opérateur a un effet spécifique sur l’état qubit.
| Opérateur | Effet sur $\ket{0}$ | Effet sur $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Remarque
Vous pouvez parfois lire ou entendre le terme portes quantiques au lieu d’opérations quantiques. Le terme porte quantique est utilisé par analogie avec les portes logiques classiques. Aux débuts de l’informatique quantique, les algorithmes quantiques étaient perçus comme des schémas de la même façon que les schémas électriques en informatique classique.
Vous pouvez utiliser un opérateur pour placer un qubit dans la superposition. L’opérateur Hadamard, H, place un qubit dans l’état $|0\rangle$ en superposition des états $|0\rangle$ et $|1\rangle$. Mathématiquement, cette équation est
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle.$$
Dans ce cas, la probabilité de mesurer chaque état est $P(0)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ et $P(1)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$. Chaque état a une probabilité de 50 % d’être mesuré. Vous pouvez également vérifier que $\frac12 + \frac12 = 1$.
Qu’est-ce que cela signifie de procéder à une mesure ?
Il existe de nombreuses interprétations du concept de mesure en mécanique quantique, mais les détails ne sont pas abordés dans ce module. Pour l'informatique quantique, vous n'avez pas à vous en soucier.
Dans ce module, la mesure est comprise au sens d’idée informelle d’« observation » d’un qubit, ce qui réduit immédiatement la superposition quantique à l’un des deux états de base correspondant à 0 et 1. Par exemple, si vous mesurez un qubit dans l’état $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$, cela signifie que vous forcez le qubit à prendre l’un des deux états possibles et que vous observerez 0 ou 1 avec une probabilité égale.
Pour en savoir plus sur le concept de mesure et son histoire dans le contexte de la mécanique quantique, consultez l'article Wikipédia Problème de la mesure quantique.