糾纏和相互關聯

糾纏是量子力學的基本概念，描述量子系統之間的量子相互關聯。 當兩個或多個量子位糾纏時，一個量子位的狀態會相依於另一個量子位的狀態，即使它們相距甚遠。 此量子相互關聯是沒有傳統對應專案之量子系統的獨特功能。

本文提供糾纏、相互關聯的概觀，並說明如何使用量子閘建立糾纏。

什麼是糾纏？

假設您有兩個量子位元：$A$ 和 $B$。 量子位元彼此獨立，這表示量子位元 $A$ 的狀態相關資訊僅屬於量子位元 $A$。 同樣地，量子位 B$ 狀態的相關信息屬於量子位 $$B$。 在此情況下，量子位不會糾纏，因為它們不會共用其狀態的任何資訊。

現在假設您糾纏量子位。 如果量子位 A 和 B 糾纏，量子位 $A$ 狀態的相關信息與量子位 $$B$ 的狀態無關。$ $$ 糾纏時，資訊會在兩個量子位之間共用，而且無法知道量子位 A$ 或量子位 $$B$ 的狀態。 您只能描述全域系統的狀態，而不是個別量子位元的狀態。

糾纏是兩個或更多粒子之間的量子相互關聯。 如果兩個粒子糾纏，它們就無法獨立描述，而只能描述為整個系統。

即使它們以大距離分隔，兩個或多個粒子也可以糾纏。 此相互關聯比任何傳統相互關聯強，而且它是量子信息處理工作的重要資源，例如量子遠端傳送、量子密碼編譯和量子運算。 如果您想要瞭解如何使用糾纏來傳送量子位，請參閱 Azure Quantum 訓練路徑中的此課程模組。

在量子系統中定義糾纏

假設有兩個量子位元 $A$ 和 $B$，於是全域系統 $\ket{\phi}$ 的狀態為：

$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$

全域系統 $\ket{\phi}$ 處於狀態 $|00\rangle$ 和 $|11\rangle$ 的疊加。 但是，量子位元 $A$ 的個別狀態為何？ 而量子位元 $B$ 的狀態為何？ 如果您嘗試描述量子位 A$ 的狀態，而不考慮量子位 $$B$ 的狀態，就會失敗。 $子系統 A$ 和 $B$ 糾纏在一起，無法獨立描述。

如果您測量這兩個量子位，則只能有兩個結果： $\ket{{00}$ 和 $\ket{{11}$，每個結果的機率 $\frac{1}{{2}$都相同。 取得狀態 $|01\rangle$ 和 $|10\rangle$ 的機率為零。

但是，如果只測量一個量子位元會發生什麼情況？ 當兩個粒子糾纏時，測量結果也會相互關聯。 也就是說，無論作業發生在糾纏配對中一個量子位的狀態，也會影響另一個量子位的狀態。

如果您只測量量子位元 $A$ 且取得 $|0\rangle$ 狀態，這表示全域系統會摺疊為狀態 $\ket{00}$。 這是唯一可能的結果，因為測量 $|01\rangle$ 的機率是零。 因此，若未測量量子位 B$，您可以確定第二個量子位$也處於 $|0\rangle$ 狀態。 因為量子位元互相糾纏，所以測量結果會相互關聯。

量子狀態 $\ket{\phi}$ 稱為 Bell 狀態。 有四個 Bell 狀態：

$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$

使用量子作業建立糾纏

您可以使用量子運算來建立量子糾纏。 在狀態 $|00\rangle$ 中建立兩個量子位的最常見方式之一是套用 Hadamard 運算 H$ 和受控 NOT 運算 $$CNOT$，將它們轉換成 Bell 狀態 $\ket{\phi^+1{\sqrt2}（|00\rangle+|}=\frac11\rangle）。$

CNOT$ 作業會$採用兩個量子位作為輸入，一個作為控制量子位，另一個則是目標量子位。 如果 CNOT 控制量子位的狀態為 1，則此作業會翻轉目標量子位的狀態，而只有當控制量子位的狀態為 $|1\rangle$ 時，才會翻轉。

以下說明其運作方式：

1. 取得狀態 $|00\rangle$ 的兩個量子位元。 第一個量子位是控制量子位，第二個量子位是目標量子位。

2. 套用 $H$，僅只在對照量子位元中建立疊加狀態。

   $$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$

   注意

   下標 ${}_c$ 和 ${}_t$ 指定控件和目標量子位。

3. 將 $CNOT$ 運算子套用至處於迭加狀態的控件量子位，以及處於狀態 $|0_t\rangle$的目標量子位。

   $$ CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t = CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$

可分隔性和量子糾纏

糾纏可以視為缺乏可分離性：當狀態無法分離時，狀態就會糾纏。

如果量子狀態可以寫入為子系統的產品狀態，則量子狀態是可分隔的。 也就是說，如果狀態 AB 可以寫入為子系統的產品狀態群組，即$\ket{\phi}{\text{AB a}_A b}_B\otimes\ket{$，則狀態$\ket{\phi}{\text{AB}}$}}=\ket{是可分隔的。

純狀態的糾纏

純量子狀態是單一 ket 向量，例如狀態 $\ket{+\frac{{2}}{1}{\sqrt{}=（\ket{0} + \ket{1}）。$

純狀態不能寫入為其他量子狀態的統計混合（或 凸合）。

在 Bloch 球體上，純狀態是以球體表面的點表示，而混合狀態則以內部點表示。

如果無法撰寫為子系統的產品狀態群組，即$\ket{\phi}{AB}=\ket{} a_A b}_B\ket{\otimes$，則純狀態$\ket{\phi}{AB}$會糾纏在一起。

例如，請考慮狀態 $$\ket{\psi}_{AB{1}{2}\frac{=} （\ket{{00}+ + \ket{{10} +）\ket{01}\ket{{11}$$

起初，狀態 $\ket{\psi}_{AB}$ 看起來不像產品狀態，但如果我們將狀態重寫為

$$\ket{\psi}_{AB}{2}}=\frac{{1}{\sqrt{ （_A +_A）{2}} \otimes\frac{1}{\sqrt{（\ket{{0}\ket{0}_B +{1}\ket{\ket{{1}_B）=\ket{+}_A +_B \ket{}$$

狀態 $\ket{\psi}_{\text{AB}}$ 是產品狀態，因此不會糾纏。

混合狀態中的糾纏

混合量子狀態是純狀態的統計合奏。 若要描述混合狀態，更容易使用其密度矩陣 $\rho$ ，而不是 ket 表示法。

如果可以撰寫為子系統產品狀態的凸凸組合，則混合狀態 $\rho$ 是可分隔的，例如

$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_j \otimes \rho^{B}_j$$

其中 $p_j \geq 0、 \sum p_j = 1$ 和 $\rho^{A}_j 0、\rho^{B}_j \geq \geq 0$。

如需詳細資訊，請參閱 密度矩陣。

如果混合狀態 $\rho$ 無法分隔，即無法寫入為產品狀態的凸凸組合，就會糾纏在一起。

瞭解傳統相互關聯

傳統相互關聯是因為缺乏系統狀態的知識。 也就是說，有一些與傳統相互關聯相關聯的隨機性，但可以藉由獲得知識來消除。

例如，請考慮兩個方塊，每個方塊都包含一個球。 你知道這兩個球都是相同的顏色，無論是藍色還是紅色。 如果你打開一個盒子，發現裡面的球是藍色的，那麼我們知道另一個球也是藍色的。 因此，它們相互關聯。 然而，打開盒子時，我們所擁有的不確定性是由於我們缺乏知識，這不是根本的。 球在我們打開盒子之前是藍色的。 因此，這是傳統相互關聯，而不是量子相互關聯。

由兩個方塊 $\rho_{box}$ 所形成之系統的混合量子狀態可以寫入為

$$\rho_{boxes}={1}{2}\frac{ （\ket{red_A red}\bra{_{A}\ket{}\otimes}\bra{ red}_B） +{1}{2}\frac{ （\ket{藍色}}\bra{藍色_A藍色}}\bra{_B）\otimes\ket{$$

請注意，狀態 $\rho_box 是}$可分隔的，其中$p_1{ p_2 = =\frac{1}{2}$它只包含傳統相互關聯。 混合可分隔狀態的另一個範例是

$$\rho ={1}{2}\frac{（\ket{0}\bra{{0}_A _B\ket{0}\bra{0}\otimes） +\frac{1}{2} （\ket{1}\bra{1}_A _B）\otimes\ket{{1}\bra{{1}$$

現在，請考慮下列狀態：

$$\rho =\frac{{1}{4} （\ket{{00}\bra{00} + +{00}\bra{11} \ket{+ \ket{\ket{11}\bra{00}{11}{11}\bra{） =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$

在此情況下，我們對狀態的知識是完美的，我們知道 $系統 AB$ 處於貝爾狀態 $\ket{\phi^+}$ ， $而 \rho$ 是純狀態。 因此，沒有傳統相互關聯。 但是，如果我們測量子系統 $A$ 上的可觀察值，我們會取得隨機結果，以提供子系統 $B$ 狀態的相關信息。 此隨機性是基本概念，即這些是量子相互關聯。

包含傳統和量子相互關聯之量子狀態的範例為

$$\rho ={1}{2}\frac{（\ket{\phi^+}\bra{\phi^+ +} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^--}）$$

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