Annexe : Transformations matricielles

Cette rubrique fournit une vue d’ensemble mathématique des transformations de matrice pour les graphiques 2D. Toutefois, vous n’avez pas besoin de connaître les mathématiques matricielles pour utiliser des transformations dans Direct2D. Lisez cette rubrique si vous êtes intéressé par les mathématiques ; sinon, n’hésitez pas à ignorer cette rubrique.

• Présentation des matrices
  • Opérations de matrice
• Transformations affines
  • Transformation de traduction
  • Mise à l’échelle de la transformation
  • Rotation autour de l’origine
  • Rotation autour d’un point arbitraire
  • Transformation d’asymétrie
• Représentation des transformations dans Direct2D
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Présentation des matrices

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels. L’ordre de la matrice est le nombre de lignes et de colonnes. Par exemple, si la matrice a 3 lignes et 2 colonnes, l’ordre est de 3 × 2. Les matrices sont généralement affichées avec les éléments de matrice placés entre crochets :

Notation : une matrice est désignée par une lettre majuscule. Les éléments sont désignés par des lettres minuscules. Les indices indiquent le numéro de ligne et de colonne d’un élément. Par exemple, unij est l’élément au niveau de l’i’ième ligne et de la j’ième colonne de la matrice A.

Le diagramme suivant montre une matrice i × j, avec les éléments individuels dans chaque cellule de la matrice.

Opérations de matrice

Cette section décrit les opérations de base définies sur les matrices.

Ajout. La somme A + B de deux matrices est obtenue en ajoutant les éléments correspondants de A et B :

A + B = \[ a*ij* \] + \[ b*ij* \] = \[ a*ij* + b*ij* \]

Multiplication scalaire. Cette opération multiplie une matrice par un nombre réel. Avec un nombre réel k, le produit scalaire kA est obtenu en multipliant chaque élément de A par k.

kA = k\[ a*ij* \] = \[ k × a*ij* \]

Multiplication matricielle. Avec deux matrices A et B avec ordre (m × n) et (n × p), le produit C = A × B est une matrice avec ordre (m × p), défini comme suit :

ou, de manière équivalente :

c*ij* = a*i*1 x b1*j* + a*i*2 x b2*j* + ... + a*in* + b*nj*

Autrement dit, pour calculer chaque élément cij, procédez comme suit :

1. Prenez la i’ième ligne de A et la j’ième colonne de B.
2. Multipliez chaque paire d’éléments dans la ligne et la colonne : la première entrée de ligne par la première entrée de colonne, la deuxième entrée de ligne par la deuxième entrée de colonne, et ainsi de suite.
3. Additionnez le résultat.

Voici un exemple de multiplication d’une matrice (2 × 2) par une matrice (2 × 3).

La multiplication matricielle n’est pas commutative. Autrement dit, A × B ≠ B × A. En outre, d’après la définition, il s’ensuit que toutes les paires de matrices ne peuvent pas être multipliées. Le nombre de colonnes dans la matrice de gauche doit être égal au nombre de lignes dans la matrice de droite. Sinon, l’opérateur × n’est pas défini.

Identifiez la matrice. Une matrice d’identité, désignée I, est une matrice carrée définie comme suit :

I*ij* = 1 si *i* = *j*, ou 0 sinon.

En d’autres termes, une matrice d’identité contient 1 pour chaque élément où le numéro de ligne est égal au numéro de colonne et zéro pour tous les autres éléments. Par exemple, voici la matrice d’identité 3 × 3.

Les égalités suivantes se conservent pour n’importe quelle matrice M.

M x I = M I x M = M

Transformations affines

Une transformation affine est une opération mathématique qui mappe un espace de coordonnées à un autre. En d’autres termes, il mappe un ensemble de points à un autre ensemble de points. Les transformations affine ont certaines fonctionnalités qui les rendent utiles dans l’infographie.

• Les transformations affines préservent la collinearité. Si trois points ou plus tombent sur une ligne, ils forment toujours une ligne après la transformation. Les lignes droites restent droites.
• La composition de deux transformations affines est une transformation affine.

Les transformations affine pour l’espace 2D ont la forme suivante.

Si vous appliquez la définition de la multiplication de matrice donnée précédemment, vous pouvez montrer que le produit de deux transformations affines est une autre transformation affine. Pour transformer un point 2D à l’aide d’une transformation affine, le point est représenté sous la forme d’une matrice 1 × 3.

P = \| x y 1 \|

Les deux premiers éléments contiennent les coordonnées x et y du point. Le 1 est placé dans le troisième élément pour que les mathématiques fonctionnent correctement. Pour appliquer la transformation, multipliez les deux matrices comme suit.

P' = P × M

Ceci se développe comme suit.

where

x' = ax + cy + e y' = bx + dy + f

Pour obtenir le point transformé, prenez les deux premiers éléments de la matrice P'.

p = (x', y') = (ax + cy + e, bx + dy + f)

Les différentes sections suivantes dérivent les transformations de base.

Transformation de traduction

La matrice de transformation de traduction se présente sous la forme suivante.

L’insertion d’un point P dans cette équation donne les résultats suivants :

P' = (*x* + *dx*, *y* + *dy*)

qui correspond au point (x, y) traduit par dx dans l’axe X et dy dans l’axe Y.

Mise à l’échelle de la transformation

La matrice de transformation de mise à l’échelle se présente sous la forme suivante.

L’insertion d’un point P dans cette équation donne les résultats suivants :

P' = (*x* • *dx*, *y* • *dy*)

qui correspond au point (x,y) mis à l’échelle par dx et dy.

Rotation autour de l’origine

La matrice permettant de faire pivoter un point autour de l’origine a la forme suivante.

Le point transformé est :

P' = (*x*cosΘ – ysinΘ, *x*sinΘ + *y*cosΘ)

Preuve. Pour montrer que P' représente une rotation, considérez le diagramme suivant.

Soit :

P = (x,y)

Point d’origine à transformer.

Φ

Angle formé par la ligne (0,0) à P.

Θ

Angle de rotation (x,y) par rapport à l’origine.

P' = (x',y')

Point transformé.

R

Longueur de la ligne (0,0) à P. Également le rayon du cercle de rotation.

L’angle entre l’axe X et la ligne (0,0) à P' est Φ + Θ. Les identités suivantes contiennent :

x = R cosΦ y = R sinΦ x' = R cos(Φ + Θ) y' = R sin(Φ+ Θ)

Résolvez maintenant x' et y' en termes de Θ. Par les formules d’addition trigonométrique :

x' = R(cosΦcosΘ – sinΦsinΘ) = RcosΦcosΘ – RsinΦsinΘ y' = R(sinΦcosΘ + cosΦsinΘ) = RsinΦcosΘ + RcosΦsinΘ

En remplaçant, nous obtenons :

x' = xcosΘ – ysinΘ y' = xsinΘ + ycosΘ

qui correspond au point transformé P' indiqué précédemment.

Rotation autour d’un point arbitraire

Pour effectuer une rotation autour d’un point (x,y) autre que l’origine, la matrice suivante est utilisée.

Vous pouvez dériver cette matrice en prenant le point (x,y) comme origine.

Soit (x1, y1) le point qui résulte de la rotation du point (x0, y0) autour du point (x,y). Nous pouvons dériver x1 comme suit.

x1 = (x0 – x)cosΘ– (y0 – y)sinΘ + x x1 = x0cosΘ – y0sinΘ + \[ (1 – cosΘ) + ysinΘ \]

Rebranchez maintenant cette équation dans la matrice de transformation, à l’aide de la formule x1 = ax0 + cy0 + e de la précédente. Utilisez la même procédure pour dériver y1.

Transformation d’asymétrie

La transformation d’asymétrie est définie par quatre paramètres :

• Θ : quantité à biaiser le long de l’axe x, mesurée sous forme d’angle à partir de l’axe y.
• Φ : quantité à biaiser le long de l’axe y, mesurée sous la forme d’un angle à partir de l’axe x.
• (px, py) : coordonnées x et y du point sur lequel l’asymétrie est effectuée.

La transformation d’asymétrie utilise la matrice suivante.

Le point transformé est :

P' = (*x* + *y*tanΘ – *py*tanΘ, *y* + *x*tanΦ) – *py*tanΦ

ou équivalent :

P' = (*x* + (*y* – *py*)tanΘ, *y* + (*x* – *px*)tanΦ)

Pour voir le fonctionnement de cette transformation, considérez chaque composant individuellement. Le paramètre Θ déplace chaque point dans la direction x d’une quantité égale à tanΘ. Le diagramme suivant montre la relation entre Θ et l’asymétrie de l’axe X.

Voici la même asymétrie appliquée à un rectangle :

Le paramètre Φ a le même effet, mais le long de l’axe y :

Le diagramme suivant montre l’asymétrie de l’axe y appliquée à un rectangle.

Enfin, les paramètres px et py déplacent le point central de l’asymétrie le long des axes x et y.

Représentation des transformations dans Direct2D

Toutes les transformations Direct2D sont des transformations affines. Direct2D ne prend pas en charge les transformations non affines. Les transformations sont représentées par la structure D2D1_MATRIX_3X2_F . Cette structure définit une matrice 3 × 2. Étant donné que la troisième colonne d’une transformation affine est toujours la même ([0, 0, 1]), et que Direct2D ne prend pas en charge les transformations non affines, il n’est pas nécessaire de spécifier l’intégralité de la matrice 3 × 3. En interne, Direct2D utilise 3 × 3 matrices pour calculer les transformations.

Les membres du D2D1_MATRIX_3X2_F sont nommés en fonction de leur position d’index : le membre _11 est l’élément (1,1), le membre _12 est l’élément (1,2), et ainsi de suite. Bien que vous puissiez initialiser directement les membres de la structure, il est recommandé d’utiliser la classe D2D1::Matrix3x2F . Cette classe hérite de D2D1_MATRIX_3X2_F et fournit des méthodes d’assistance pour créer l’une des transformations affines de base. La classe définit également operator*() pour la composition de deux transformations ou plus, comme décrit dans Application de transformations dans Direct2D.

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Module 4. Entrée utilisateur